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Unterabschnitte

Elektronenzustände der Atome

Die Elektronenzustände der Atome sind geprägt durch die Kugelsymmetrie, d.h. durch ein kugelförmiges Potenzial. (In Molekülen und Polymeren oder Kristallen letztlich geht die Kugelsymmetrie immer verloren und wird durch eine andere ersetzt.)

$ \Psi$, die sogenannte Wellenfunktion ist die komplette Beschreibung des elektronischen Systems

$ \Psi$ enthält damit auch die Information über die Energie

O (von Operator) ist eine andere Funktion, die man auf $ \Psi$ wirken lassen kann ($ O \Psi$) und die dabei eine Information
über das System $ \Psi$ herausprojiziert

($ \Psi$ kann viele Eigenschaften haben, die man mit jeweils anderen Operatoren herausprojizieren kann). Der Energieoperator heisst Hamiltonoperator H, und er projiziert die Information über die Energie aus $ Psi$ heraus:

$\displaystyle H \Psi = E \Psi' $

Diese Beziehung heisst Schrödinger Gleichung. Um sie exakt zu lösen muss man $ H$ und $ \Psi$ genau kennen. Das ist nur für einfache Fälle (z.B. für Kugelsymmetrie und für ein einzelnes Elektron, also für das Wasserstoffatom) Möglich. In praktisch allen realen Systemen muss man die Lösung iterativ annähern.

$\displaystyle H\Psi = E'\Psi'\longrightarrow H\Psi' =
H''\Psi''$    mit $\displaystyle \sum E'' < \sum E' $

Dabei enthält E die Eigenwerte, d.h. die Energieniveaus der gequantelten Zustände von $ \Psi$ und $ \Psi'$ die Eigenfunktionen bzw. Orbitale derselben.

Die Energie des Elektrons in der Nähe eines (oder mehrerer) Atome besteht aus einem kinetischen und einem potentiellen Anteil wie bei einem harmonischen Oszillator:

$\displaystyle E = E_{kin} + E_{pot} $

Deshalb besteht auch der Hamiltonoperator aus den Operatoren für die kinetische und die potentielle Energie:

$\displaystyle H = T + V = -\frac {h}{8\pi ^2 m} \left(
\frac {\delta ^2}{\delta...
...rac {\delta ^2}{\delta x^2} +
\frac {\delta ^2}{\delta x^2} \right) + V(x,y,z) $

Löst man die Schrödingergleichung für ein Teilchen im Kasten so kann das System mit einer Quantenzahl pro Dimension beschrieben werden:
1
dimensionaler Kasten -- 1 Quantenzahl
2
dimensionaler Kasten -- 2 Quantenzahlen
3
dimensionaler Kasten -- 3 Quantenzahlen (n, l, m)

Abbildung 1: Die vier niedrigsten Energieeigenwerte und die zugehörigen Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für ein Elektron im Kastenpotenzial
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_1_e-wellen}

Quantenzahlen kann man auch als Knotenzähler verstehen:

1s-Orbital -- kein Knoten
2s-Orbital -- 1 Knoten
3s-Orbital -- 2 Knoten

Je mehr Knoten ein Orbital hat des höher ist seine Energie - desto ungünstiger ist es.

Die Lösungen der Schrödingergleichung im Kugelpotenzial sind stark von der hohen Symmetrie geprägt. Die möglichen Verteilungen von Teilchen in einer Symmetrie heissen Darstellungen der Symmetrie. Die Kugelsymmetrie enthält unendlich viele Darstellungen:

Darstellung Entartung n l Orbital  
S 1 1,2,... 0 s  
P 3 2,3,... 1 p  
D 5 3,4,... 2 d  
F 7 4,5,... 3 f  
G 9 5,6,... 4 g  
: : : : :  
? 2l+l n l ?  

Abbildung 2: Bildliche Representationen von Darstellungen der Kugelgruppe
\includegraphics[width=.8\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_1_Kugelgruppe}

Die Elektronen müssen in den freien Atomen den Darstellungen der Kugelsymmetrie genügen. Die Schrödingergleichung sortiert hier nur die energetische Abfolge der Darstellungen. Mit zunehmendem Radius der Hauptschale n können immer mehr Elektronen untergebracht werden, weil der zur Verfügung stehende Raum immer grösser wird. Damit können auch immer mehr unterschiedliche Darstellungen pro Hauptschale energetisch günstig und mit Elektronen besetzt sein. Alle gefüllten und halbgefüllten Haupt- und Unterschalen (Darstellungen) sind wieder kugelsymmetrisch!

(vgl. Edelgase, $ Mn^{2+} - d^5$, $ Eu^{2+} - f^7$, $ Hg^{\pm0}$)

Durch eine Zerlegung der Wellenfunktion nach den Quantenzahlen und in radiale sowie winkelabhängige Anteile werden die Orbitalfunktionen anschaulich:

$\displaystyle \Psi (r, \delta, \phi) = R_{nl}(r) \cdot Y_{lm}(\delta, \phi)
$

mit r=Radius, $ \theta$, $ \phi$ = Polar- bzw. Kugelkoordinaten, n=Hauptquantenzahl, l=Nebenquantenzahl und m=magnetische Quantenzahl.
Tabelle 1: Quantenzahlen, Schalen und Orbitale
Schale Orbital n l $ \mathbf{m_l}$
K 1s 1 0 0
L 2s 2 0 0
  2p 2 1 -1,0,+1
M 3s 3 0 0
  3p 3 1 -1,0,+1
  3d 3 2 -2,-1,0,+1,+2

Das Wasserstoffatom

Beim Wasserstoffatom sind alle Elektronenzustände mit derselben Hauptquantenzahl praktisch entartet:

Abbildung 3: Elektronenzustände beim Wasserstoffatom
\includegraphics[width=.6\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_H-elektronen}

Die Eigenwerte sind über die Atomspektren messbar ( $ \rightleftharpoons$ Elektronenübergänge im Atom, Anregungen):

Abbildung 4: Elektronenübergänge im Atom und angeregte Zustände
\includegraphics[width=.6\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_H-e-uebergang}


\includegraphics[width=.7\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_HI-e-uebergang}

Abbildung 5: Die radiale Wellenfunktion $ R_{nl}$ und davon abgeleitete Grössen
$ \LARGE R_{nl}$
\includegraphics[width=.4\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_Welle-Rnl}

Abbildung 6: Die radiale Elektronendichte
$ \LARGE R_{nl}^2$
\includegraphics[width=.4\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_Welle-R2nl}

Abbildung 7: Die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit
$ \LARGE 4\pi r^2 R_{nl}^2$
\includegraphics[width=.6\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_Welle-4pr2R2nl}


Tabelle 2: Radialanteile von wasserstoffartigen Orbitalen
l n 1 2 3
  0 $ 2e^{-\rho /2}$ $ \frac {1} {2\sqrt {2}} (2 - \rho)e^{-\rho /2}$ $ \frac {1} {9\sqrt {3}} (6 - 6\rho + \rho^2)e^{-\rho /2}$
1     $ \frac {1} {2\sqrt {6}} \rho e^{-\rho /2}$ $ \frac {1} {9\sqrt {6}} (4\rho - \rho^2)e^{-\rho /2}$
2       $ \frac {1} {9\sqrt {30}} \rho^2 e^{-\rho /2}$

$ \rho = \frac {2Zr}{n\cdot a_0}$ (Z = Kernladung, r = Radius, $ a_0$ = Bohrradius)

Abbildung 8: Radialer Anteil der Eigenfunktionen des Wasserstoff-Atoms für n = 1, 2, 3
Aus G. Herzberg, ``Atomic Spectra and Atomic Structure''. Dover Publications. Inc., New York, 1944
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_Eigenfunktion}


Tabelle 3: Winkelabhängige Anteile von wasserstoffartigen Orbitalen
\scriptsize\begin{tabular}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}
\hline
l & $Y_{lm}...
...usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_H-artige_Orbit-d}\\
\hline
\end{tabular}



Abbildung 9: Darstellungen der Elektronendichte
\includegraphics[width=.3\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_e-Dichte-a} \includegraphics[width=.3\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_e-Dichte-b} \includegraphics[width=.3\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_2_e-Dichte-c}


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letzte Änderung: 2001-11-07