Kugelpackungen

In ungeordneter Umgebung neigen Kugeln dazu örtlich begrenzte Fünfringpackungen (Bernalsche Kugelpackungen ) auszubilden. Die räumlich dichtesten Kugelpackungen haben in einer Schicht senkrecht zur Stapelachse immer Sechsringanordnungen:

Abbildung 13: Hexagonale Anordnung der dichtesten Kugelpackung

Beim Übereinanderstapeln solcher dichtest gepackter Schichten gibt es zwei Lagerungsmöglichkeiten (B, C) für die zweite Schicht auf der ersten, deren Kugelpositionen (B, C) nicht mit denen der ersten (A) übereinstimmen. Jede Lagerung von solchen Schichten, bei denen niemals zwei gleiche aufeinander folgen, führt zu einer dreidimensional dichtesten Kugelpackung dkp:
...ABCABCBAB... oder ...CBABABACBCBA... etc. liefern alle dieselbe Raumerfüllung von 74%.
Die zwei einfachsten dieser Kugelpackungen sind:
...[ABC]$_n$... $\longleftarrow$kubisch dichteste Kugelpackung kdp bzw. engl. fcc oder ccp. ...[AB]$_n$... $\longleftarrow$hexagonal dichteste Kugelpackung hdp bzw. engl. hcp.
Die Raumerfüllung kann für kdp einfach hergeleitet werden:

Abbildung 14: Raumerfüllung für die kdp

$\parbox{\textwidth}{ \centering\includegraphics[width=.3\textwidth]... ...[width=.4\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_3_Kub-Kugelpack-b} }$
$\parbox{\textwidth}{ \centering\includegraphics[width=.3\textwidth]... ...[width=.4\textwidth]{/usr/edu/lector/vorlesung_ac1/pic/ac1_3_Hex-Kugelpack-b} }$

$R_K = \frac{1}{4} \sqrt{2}, V_K = \frac{4}{3}\pi r^3,$ $4V_K = 0.74, V_{Elementarzelle} = 1.$

Lücken in dichtesten Kugelpackungen

Für alle dichtesten Kugelpackungen gilt:

1. Die grössten Lücken sind Oktaederlücken, die nächst kleineren sind Tetraederlücken. Die ersteren haben die Koordinationszahl CN=6, die letzteren CN=4.
2. Es gibt genau so viele Oktaederlücken (n) wie Packungsatome n.
3. Es gibt doppelt so viele Tetraederlücken (2n) wie Packungsatome n.

Dichteste Packungen werden von einfachen elementaren Metallen gebildet wie $Mg, Ca, Sr, Cu, Ag, Au$ u. einige mehr.